|
|
 |
Условие
На каждом из 12 рёбер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходита) через какие-то 6 из отмеченных точек;
б) через какие-то 7 из отмеченных точек?
Решение 1
а) Рассмотрим вершину A куба. Середины шести рёбер, выходящих из вершины A или противоположной вершины, отметим синим, а остальные – красным. Расстояния от A до красных точек одни и те же, а до синих – другие. Поэтому через шесть красных точек проходит сфера с центром А, не содержащая синих точек.
б) Верхняя и нижняя грани куба содержат по четыре отмеченных точки. Оставшиеся четыре точки находятся в горизонтальной плоскости, проходящей через центр O куба. Из семи отмеченных точек, через которые проходит сфера, какие-то три принадлежат одной из трёх указанных плоскостей. В этой плоскости четыре отмеченные точки лежат на окружности. Поскольку три из этих точек лежат на сфере, то её центр находится на вертикальной прямой, проходящей через O. Рассмотрев вместо верхней и нижней переднюю и заднюю грани, аналогично докажем, что центр сферы принадлежит другой прямой, проходящей через O. Следовательно, центр сферы совпадает с O. Поскольку расстояния от O до всех середин рёбер одинаковые, то все отмеченные точки лежат на этой сфере.
Решение 2
Все 12 точек лежат на сфере, центр которой совпадает с центром куба. Если некоторые из них лежат на другой сфере, то они лежат на окружности пересечения двух сфер, то есть в одной плоскости. Сечение куба этой плоскостью имеет не более шести сторон, поскольку у куба шесть граней. При этом только вершины сечения лежат на рёбрах куба. Следовательно, семь отмеченных точек не могут лежать на другой сфере. А шесть могут, поскольку у куба есть сечение в виде правильного шестиугольника с вершинами в серединах рёбер. Такие точки и указаны в решении 1 а).
Ответ
а) Не обязательно; б) обязательно.
Замечания
Баллы – 3 + 3
