Задача 65726
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие целые числа a и b, чтоа) уравнение x² + ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + ax + b = 0 имеет?
б) уравнение x² + 2ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + 2ax + b = 0 имеет?
Решение
а) Уравнение x² – 3x + 3 = 0 не имеет корней, поскольку у него дискриминант отрицательный, а уравнение [x²] – 3x + 3 = 0 имеет корни x1 = 4/3,
x2 = 5/3.
б) Пусть функция f(x) = x² + 2ax = b = (x + a)² + b – a² не обращается в ноль. Тогда b – a² положительно, а потому не меньше 1 (a и b – целые). Значит, f(x) ≥ 1 при любом x. Замена x² целой частью уменьшает значение функции менее чем на 1, а потому оставляет её положительной.
Ответ
а) Существуют; б) не существуют.
Замечания
баллы – 2 + 3
