ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65726
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Существуют ли такие целые числа a и b, что
  а) уравнение  x² + ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x²] + ax + b = 0 имеет?
  б) уравнение  x² + 2ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x²] + 2ax + b = 0  имеет?

Решение

а) Уравнение  x² – 3x + 3 = 0  не имеет корней, поскольку у него дискриминант отрицательный, а уравнение  [x²] – 3x + 3 = 0  имеет корни  x1 = 4/3,
x2 = 5/3.

б) Пусть функция  f(x) = x² + 2ax = b = (x + a)² + b – a²  не обращается в ноль. Тогда  b – a²  положительно, а потому не меньше 1 (a и b – целые). Значит,  f(x) ≥ 1  при любом x. Замена x² целой частью уменьшает значение функции менее чем на 1, а потому оставляет её положительной.


Ответ

а) Существуют;  б) не существуют.

Замечания

баллы – 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .