|
|
 |
Условие
Саша выбрал натуральное число N > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: d1 < ... < ds (так что d1 = 1 и
ds = N). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных s – 1 чисел оказалась равной
N – 2. Какие значения могло принимать N?
Решение
Заметим, что ds+1–i = N/di при всех i = 1, 2, 3, ..., s.
Число di+1 – di делится на (di, di+1), так что (di, di+1) ≤ di+1 – di. При i = 1, 2, s – 1 обозначим ri = (di+1 – di) – (di, di+1) ≥ 0. По условию
(d2 – d1) + (d3 – d2) + ... + (ds – ds–1) = ds – d1 = N – 1, а (d1, d2) + (d2, d3) + ... + (ds–1, ds) = N – 2.
Вычитая, получим r1 + r2 + ... + rs–1 = 1. Это означает, что rk = 1 для некоторого k, а все остальные ri равны нулю.
Левая часть равенства (dk+1 – dk) – (dk, dk+1) = 1 делится на (dk, dk+1), поэтому (dk, dk+1) = 1 и dk+1 – dk = 2. Это возможно, только если каждое из чисел dk и dk+1 нечётно.
Так как dk и dk+1 – два последовательных делителя числа N, то N/dk+1 и N/dk – тоже два последовательных делителя числа N: если N/dk+1 = dm, то
N/dk = dm+1. При этом (dm, dm+1) = N/[dk,dk+1] = N(dk,dk+1)/dkdk+1 < N(dk+1–dk)/dkdk+1 = dm+1 – dm.
Значит, rm > 0, что возможно лишь при k = m (и, следовательно, s = 2k).
Итак, dk+1 = N/dk, то есть число N = dkdk+1 нечётно. Но тогда ds–1 ≤ N/3, откуда (ds–1, ds) ≤ ds–1 ≤ N/3. Следовательно, 1 ≥ rs–1 ≥ 2N/3 – N/3 = N/3, то есть N ≤ 3. Поскольку N > 1, получаем единственно возможное значение N = 3, которое, как легко убедиться, удовлетворяет условию.
Ответ
N = 3.
