Задача 65750

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кузнецов А.

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Решение

  Выберем на прямой QP такую точку T, что  DT ⊥ DA  (см. рис.). Заметим, что точки P и D лежат на окружности с диаметром AT. Значит, центр окружности ω₁ лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку DT.

  Так как  ∠QBD = ∠СBD = ∠СAD = ∠PAD = ∠PTD = ∠QTD,  то точки B, Q, D и T лежат на одной окружности. Поэтому центр окружности ω₂ также лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку DT. Таким образом, прямая l проходит через центры ω₁ и ω₂. Поскольку  l ⊥ DT  и  AD ⊥ DT,  то
l || AD,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2