ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65758
Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве даны три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через Oijk центр сферы, проходящей через точки Ai, Bj, Ck и P. Докажите, что прямые O111O222, O112O221, O121O212 и O211O122 пересекаются в одной точке.


Решение

  Для любого отрезка XY серединным перпендикуляром к этому отрезку назовём плоскость, перпендикулярную ему и проходящую через его середину, то есть геометрическое место точек, равноудалённых от X и Y.

  Все точки вида O1jk лежат в серединном перпендикуляре α1 к отрезку PA1. Аналогично, все точки O2jk лежат серединном перпендикуляре α2 к отрезку PA2; заметим, что  α1 || α2.
  Аналогично введём плоскости βj – серединные перпендикуляры к отрезкам PBj, и плоскости γk – серединные перпендикуляры к отрезкам PCk. Тогда точки Oijk – вершины параллелепипеда, образованного плоскостями αi, βj и γk. Теперь утверждение следует из того, что диагонали этого параллелепипеда пересекаются в одной точке – его центре симметрии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .