|
|
 |
Условие
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями x ± y ± z = n (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (x0, y0, z0) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка (kx0, ky0, kz0) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
Решение
Лемма. Пусть рациональные числа a, b, c и a + b + c – нецелые. Тогда существует такое натуральное k, что числа ka, kb и kc нецелые, причём
1 < {ka} + {kb} + {kc} < 2.
Доказательство. Заменяя числа a, b и c на их дробные части, можно считать, что они лежат в интервале (0, 1). Обозначим f(t) = {ta} + {tb} + {tc}. Заметим, что при 1 < a + b + c < 2 можно положить k = 1.
Пусть a + b + c < 1. Выберем такое натуральное m, что ma, mb и mc – целые. Тогда f(m – 1) = f(–1) = 3 – (a + b + c) > 2. Значит, существует наименьшее натуральное k, при котором f(k) > 1 (тогда f(k – 1) ≤ 1). Покажем, что это k удовлетворяет всем требованиям.
Из неравенства {ka} ≤ {(k – 1)a} + a и аналогичных, получаем f(k) ≤ f(k – 1) + (a + b + c) < f(k – 1) + 1 < 2. (*)
Осталось показать, что числа ka, kb и kc нецелые. Предположим, что ka – целое. Тогда {ka} = {(k – 1)a} + a – 1, поэтому оценку (*) можно усилить:
f(k) ≤ f(k – 1) + (a + b + c) – 1 < f(k – 1) ≤ 1. Но это противоречит выбору k.
Если a + b + c > 2, достаточно применить уже доказанное утверждение к числам a' = 1 – a, b' = 1 – b и c' = 1 – c: число k, подходящее для этих чисел, подойдёт и для исходных.
Перейдём к решению задачи. Вдобавок к данному координатному пространству Oxyz введём новое пространство Oabc. Точке (x, y, z) из старого пространства сопоставим точку (a, b, c) из нового с координатами a = y + z – x, b = x – y + z, c = x + y – z; тогда x = b+c/2, y = a+c/2, z = a+b/2. Заметим, что x + y + z = a + b + c. Тогда разбиение старого пространства соответствует разбиению нового плоскостями вида a = n, b = n, c = n и
a + b + c = n. Положим a0 = y0 + z0 – x0, b0 = x0 – y0 + z0, c = x0 + y0 – z0; по условию, числа a0, b0, c0 и a0 + b0 + c0 – нецелые.
Рассмотрим некоторую точку (u, v, w) нового пространства с нецелыми координатами. Она попадает в некоторый куб вида A ≤ a ≤ A + 1,
B ≤ b ≤ B + 1, C ≤ c ≤ C + 1. Этот куб пересекают две "наклонных" плоскости a + b + c = A + B + C + 1 и a + b + c = A + B + C + 2, которые разбивают его на два тетраэдра и (неправильный) октаэдр. При этом точка (u, v, w) попадёт внутрь октаэдра, если она окажется в полосе между указанными плоскостями, то есть если 1 < {u} + {v} + {w} < 2. Значит, применив лемму к числам a0, b0, c0, мы найдём значение k, удовлетворяющее требованиям задачи.
