Задача 65763
|
|
 |
Условие
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³ ≤ 1/a³b3c³d³.
Решение
Домножим доказываемое неравенство на a³b³c³d³, получим a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ 1.
Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что a ≥ b ≥ c ≥ d. По неравенству Коши ab(c + d) ≤ (a+b+c+d/3)³ = 1. Следовательно,
a³b³(c + d)³ ≤ 1.
Значит, достаточно проверить, что a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ a³b³(c + d)³.
После раскрытия скобок и приведения подобных и сокращения останется очевидное неравенство a³c²d² + b³c²d² ≤ 3a³b³c + 3a³b³d.
