|
|
 |
Условие
Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.
Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: "Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу", и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.
Решение
Пусть джентльменов n. Занумеруем их в порядке возрастания размеров их шляп номерами от 1 до n. Шляп не останется, только если каждый забрал свою же шляпу. Обозначим вероятность этого pn. Если первым уходит k-й джентльмен (вероятность этого 1/n), то вероятность получить свою шляпу у него равна 1/n–k+ 1 (поскольку своя шляпа – единственная среди n – k + 1 подходящих этому джентльмену). Если это случилось, то вероятность того, что все оставшиеся заберут свои же шляпы, равна pn–1. По формуле полной вероятности получаем где Hn = 1 + ½ + ... + 1/n – n-е гармоническое число. Учитывая, что p1 = 1 (если джентльмен только один, то он обязательно возьмёт свою шляпу), получаем
Подставляя n = 10, получаем p10 = 1/10!·(1 + ½)(1 + ½ + ⅓)...(1 + ½ + ... + 1/10) ≈ 0,000516. Вычисление можно легко провести с помощью калькулятора или компьютера.
Ответ
≈ 0,000516.
