Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = a  и  BC = b.  Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

  Преподаватель кружка по теории вероятностей откинулся в кресле и посмотрел на экран. Список записавшихся готов. Всего получилось n человек. Только они пока не по алфавиту, а в случайном порядке, в каком они приходили на занятие.
  "Надо отсортировать их в алфавитном порядке, – подумал преподаватель. – Пойду по порядку сверху вниз, и, если нужно, буду переставлять фамилию ученика вверх в подходящее место. Каждую фамилию придётся переставить не более одного раза".
  Докажите, что математическое ожидание числа фамилий, которые не придётся переставлять, равно  1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_n.

Решение

  Введём для каждого k индикатор I_k, который равен 1, если k-ю по списку фамилию не нужно переставлять, и 0, если нужно. Общее число фамилий, которые не надо переставлять, равно  I₁ + I₂ + ... I_n.
  Фамилию номер k не нужно переставлять, если и только если среди первых k фамилий она последняя по алфавиту. Поскольку среди этих k фамилий она с равными шансами может оказаться на любом из k мест по алфавиту, вероятность того, что она оказалась по алфавиту последней, равна ¹/_k. Следовательно, математическое ожидание числа не переставляемых фамилий равно  1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_n.

Источники и прецеденты использования