Задача 65799

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.

Решение

  Пусть K – точка пересечения медианы BM и симедианы с описанной окружностью. Так как  ∠ABK = ∠CBL,  точки K и L равноудалены от точки M стороны AC (см. рис.). Отсюда получаем следующее построение.

  Продолжим отрезок от B до центра тяжести на половину его длины, построив тем самым точку M. Проведём через точку L окружность с центром M и найдём точку K её пересечения с BM, лежащую вне луча MB. Построим окружность BKL и найдём точки A, C её пересечения с прямой, проходящей через M параллельно KL. Треугольник ABC искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	11