ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65805
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Хилько Д.

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.


Решение

  Сделаем инверсию относительно окружности произвольного радиуса с центром в точке D. Образы точек будем обозначать штрихами (см. рис.).

  Описанная окружность ω1 треугольника XDA касалась BA и BX, значит, она перейдёт в прямую A'X', а указанные прямые прямые – в описанные окружности треугольников B'DA' и B'DX', причём они будут касаться прямой X'A'. Поэтому радикальная ось B'D этой пары окружностей делит пополам отрезок X'A'. Аналогично радикальная ось DC' описанных окружностей треугольников DC'Y' и DC'A' делит пополам отрезок A'Y'. Значит, прямая B'C' – средняя линия треугольника X'A'Y', откуда  X'Y' || B'C'.  Остаётся заметить, что прообраз прямой X'Y' – описанная окружность треугольника XYD. Так как  X'Y' || B'C',  она касается прямой BC в точке D.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
тур
задача
Номер 17

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .