Задача 65830

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

При каких натуральных  n > 1  найдутся такие различные натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n, что сумма   ^a₁/_a2 + ^a₂/_a3 + ^a_n/_a1   – целое число?

Решение

  При  n > 2  положим, например,  a_k = (n – 1)^k.
  При  n = 2  пусть   ^a₁/_a2 = ^p/_q   – несократимая дробь, где  q > p.  Тогда число   ^p/_q + ^q/_p = ^p²+q²/_pq   – не целое, поскольку p² не делится на q.

Ответ

При  n > 2.

Замечания

1. 3 балла.

2. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2006, №3, задача М1996).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1