Задача 65836

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке N. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает прямую AB в точке M. Докажите, что  CB = MN.

Решение

В прямоугольном треугольнике ANL катет AL лежит против угла в 30°, поэтому  AN = 2AL = AB.  Аналогично  AM = 2AK = AC.  Треугольники ACB и AMN равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  BC = MN.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1