|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD – вписанный, AB = AD. На стороне BC взята точка M, а на стороне CD – точка N так, что угол MAN равен половине угла BAD.
Докажите, что MN = BM + ND.
Решение 1
Отразим отрезки AB и AD относительно прямых AM и AN соответственно. Их образы попадут на один луч (ввиду равенства
∠NAD + ∠MAB = ∠NAM) и, следовательно, совпадут, то есть точки B и D перейдут в одну и ту же точку K. Заметим, что
∠MKN = ∠MKA + ∠NKA = ∠MBA + ∠NDA = 180° (четырёхугольник вписанный). Поэтому K лежит на отрезке MN и BM + ND = MK + KN = MN.
Решение 2
Повернём треугольник MAB вокруг точки A так, чтобы сторона AB совместилась со стороной AD (точка M при этом перейдёт в некоторую точку M' ).
∠ABC + ∠ADC = 180°, поэтому и ∠ADN + ∠ADM' = 180°, то есть точка M' лежит на прямой CD. Поскольку
∠NAM' = ∠NAD + ∠DAM' = ∠NAD + ∠BAM = ∠NAM, то треугольники NAM' и NAM равны по первому признаку. Значит,
MN = M'N = ND + DM' = ND + BM.
Ответ
Найдутся.
Замечания
5 баллов
