ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65844
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD – вписанный,  AB = AD. На стороне BC взята точка M, а на стороне CD – точка N так, что угол MAN равен половине угла BAD.
Докажите, что  MN = BM + ND.


Решение 1

Отразим отрезки AB и AD относительно прямых AM и AN соответственно. Отражения отрезков попадут на один луч (ввиду равенства
NAD + ∠MAB = ∠NAM)  и, следовательно, совпадут, то есть точки B и D перейдут в одну и ту же точку K. Заметим, что
MKN = ∠MKA + ∠NAK = ∠MBA + ∠NDA = 180°  (четырёхугольник вписанный). Поэтому K лежит на отрезке MN и  BM + ND = MK + KN = MN.


Решение 2

Повернём треугольник MAB вокруг точки A так, чтобы сторона AB совместилась со стороной AD (точка M при этом перейдёт в некоторую точку M' ).
ABC + ∠ADC = 180°,  поэтому и  ∠ADN + ∠ADM' = 180°,  то есть точка M' лежит на прямой CD. Поскольку
NAM' = ∠NAD + ∠DAM' = ∠NAD + ∠BAM = ∠NAM,  то треугольники NAM' и NAM равны по первому признаку. Значит,
MN = M'N = ND + DM' = ND + BM.


Ответ

Найдутся.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .