ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65846
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?


Решение

  Пусть шаров только три. Прямая, проходящая через пару шаров внутри прямоугольника, пересекает границу прямоугольника ровно в двух точках. У нас есть шесть луз, значит, нужно не менее трёх прямых. Три шара дадут три прямых, только если эти прямые образуют треугольник. Однако есть всего семь прямых, проходящих через две лузы, и никакие три из них не образуют треугольник с вершинами внутри бильярдного стола (см. рис).

  Пример для четырёх шаров указан на этом же рисунке.


Ответ

Четыре шара.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .