Задача 65846

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?

Решение

  Пусть шаров только три. Прямая, проходящая через пару шаров внутри прямоугольника, пересекает границу прямоугольника ровно в двух точках. У нас есть шесть луз, значит, нужно не менее трёх прямых. Три шара дадут три прямые, только если эти прямые образуют треугольник. Однако есть всего семь прямых, проходящих через две лузы, и никакие три из них не образуют треугольник с вершинами внутри бильярдного стола (см. рис).

  Пример для четырёх шаров указан на этом же рисунке.

Ответ

Четыре шара.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1