Задача 65856

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Токарев С.И.

Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.

Решение

  Рассмотрим произведение 3n-значных чисел 887887...887887·999999…999877.
  Заметим сначала, что  887·123 = 109101.  Поэтому  887887…887887·123 = 109210210...210101  (3n + 3  знака).
  Наконец,  887887...887887·999999…999877 = 887887...887887·(10³ⁿ – 123) =  887887...887887·10³ⁿ – 109210210...210101 =
=  

Замечания

1. Есть и другие серии примеров:     и   .

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5