ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65856
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что можно найти бесконечно много пар целых чисел так, чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры были не меньше 7 и произведение чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры не меньше 7.


Решение

  Рассмотрим произведение 3n-значных чисел 887887...887887·999999…999877.
  Заметим сначала, что  887·123 = 109101.  Поэтому  887887…887887·123 = 109210210...210101  (3n + 3  знака).
  Наконец,  887887...887887·999999…999877 = 887887...887887·(103n – 123) =  887887...887887·103n – 109210210...210101 =
=  

Замечания

1. Есть и другие серии примеров:     и     (при  n ≥ 1).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .