|
|
 |
Условие
На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. Отметим 12 середин дуг. По сигналу кузнечики одновременно прыгают, каждый – в ближайшую по часовой стрелке отмеченную точку. Снова образуются 12 дуг, прыжки в середины дуг повторяются, и т. д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в свою исходную точку после того, как им сделано a) 12 прыжков; б) 13 прыжков?
Решение
a) Первый способ. После каждого "хода" кузнечик не допрыгнет до точки, где перед этим был следующий кузнечик. Значит, следующий за ним не достигнет этой точки за два последовательных прыжка. Так продолжая, получим, что после 12-го прыжка первый не дойдёт до своего начального положения.
Второй способ. Предположим, что один из кузнечиков (назовём его первым) вернулся в исходную точку A после 12 ходов. Тогда остальные 11 кузнечиков перепрыгнули через точку A до возвращения туда первого кузнечика. Но за один ход через точку A мог перепрыгнуть не более чем один кузнечик, а на первом ходу через A не перепрыгивал ни один. Противоречие.
б) Если в начале одного из кузнечиков сдвинуть по часовой стрелке, то первым прыжком он и следующий за ним прыгнут дальше, а остальные прыгнут по-прежнему. Вторым прыжком уже трое прыгнут дальше, а остальные – по-прежнему. Продолжив рассуждение, видим, что в результате за 13 прыжков все прыгнут дальше. Занумеруем кузнечиков против часовой стрелки и сдвинем всех, кроме первого, в точку O, где сидит первый (сначала сдвигаем 2-го, потом 3-го и т.д.). При таком исходном положении за последовательностью прыжков легко проследить: k-й кузнечик впервые покинет O на k-м "ходу", прыгнув на 1/2k от длины окружности, а первый после этого прыжка окажется от O на таком же расстоянии с другой стороны. В итоге первый 13-м прыжком вернётся в точку O. Значит, в исходной ситуации он до своей исходной точки не допрыгнет.
Замечания
баллы: 4 + 3
