Задача 65866

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На прямой отмечено 100 точек, и ещё одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

Решение

  Пусть l – данная прямая, O – отмеченная точка вне её, ОH – перпендикуляр, опущенный на l.
  Оценка. Основание равнобедренного треугольника может лежать на l или не лежать. Рассматриваемые треугольники первого вида симметричны относительно OH, поэтому их не больше 50 – половины отмеченных точек на l. Треугольников второго вида с данным основанием OA может быть не более одного, так как вершина определяется пересечением l и серединного перпендикуляра к OA. Поэтому треугольников второго вида не больше 100.
  Пример 1. Отложим от луча OH лучи под углом 18°. Они пересекут l в точках A₁ и B₁, отметим их. Отложим на l в другую сторону от A₁B₁ отрезок
A₁A₂ = A₁O,  затем отрезок  A₂A₃ = A₂O,  ..., отрезок  A₄₉A₅₀ = A₄₉O.  Аналогично отметим точки B₂, ..., B₅₀. Равнобедренными будут 50 треугольников OA_iB_i, по 49 треугольников OA_iA_i+1 и OB_iB_i+1, треугольники OA₁B₂ и OB₁A₂ с углами 72°, 72°, 36°.

  Пример 2. Рассмотрим вершины правильного 101-угольника. Отметим одну из них – O, её соседей – A и B, а для каждой из остальных вершин X отметим её образ X' при инверсии с центром O и радиусом OA. Тогда все отмеченные точки, кроме O, лежат на AB (причём лучи, идущие в них, разбивают угол AOB на 99 равных углов). Так как при инверсии треугольники OXY и OY'X' подобны, то количество равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точках равно количеству равнобедренных треугольников вида OXY, где X и Y – вершины 101-угольника. А таких треугольников – 50 с основанием, не содержащим O, и 100 с основанием, содержащим O.

Ответ

150 треугольников.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2