Задача 65868

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Петя нарисовал многоугольник площадью 100 клеток, проводя границы по линиям квадратной сетки. Он проверил, что его можно разрезать по границам клеток и на два равных многоугольника, и на 25 равных многоугольников. Обязательно ли тогда его можно разрезать по границам клеток и на 50 равных многоугольников?

Решение

  25 равных многоугольников содержат по четыре клетки, то есть образуют тетрамино. Есть пять видов тетрамино – в форме букв O, I, L, Z и T (см. рис.). Каждое тетрамино, кроме Т, можно разрезать на доминошки, получив 50 равных многоугольников.

  Предположим, что использовалось Т-тетрамино. Раскрасим клетки Петиного многоугольника в шахматном порядке и подсчитаем разность D количеств чёрных и белых клеток. Пусть в одном из 50-клеточных многоугольников такая разность равна d. Поскольку чётность разности чисел совпадает с чётностью их суммы, число d чётно. При наложении равных многоугольников цвета клеток не меняются или меняются все. Поэтому во втором 50-клеточном многоугольнике разность равна ±d. Значит, D делится на 4. Но в каждом Т-тетрамино исследуемая разность равна ±2, следовательно,
D ≡ 25∙2 ≡ 2 (mod 4).  Противоречие.

Ответ

Обязательно.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4