ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65899
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.


Решение

  Пусть x – последняя цифра числа. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Число 2016x должно оканчиваться на цифру х. Следовательно, x – чётная цифра, причём  x ≠ 0.  Проверкой убеждаемся, что значения x, равные 2, 4, 6 и 8, удовлетворяют условию.

  Второй способ. Искомое число имеет вид  10a + x,  где a – некоторое натуральное число. Тогда  10a + x = 2016x,  откуда  2a = 403x.  Так как числа 2 и 403 взаимно просты, то a делится на 403, а x чётно. Подставляя в полученное равенство значения x, равные 2, 4, 6 и 8, находим соответствующие значения a и получаем ответ.


Ответ

4032, 8064, 12096, 16128.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .