ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65904
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?


Решение

  Так как  44² < 2016 < 45²,  то натуральных чисел, квадраты которых не больше чем 2016, всего 44. Произведение двух точных квадратов является точным квадратом, поэтому числа  1 = 1²,  4 = 2²,  ...,  1936 = 44²  могут быть отмечены.
  Докажем, что большее количество чисел отметить невозможно. Действительно, рассмотрим искомый набор чисел и разделим каждое из чисел этого набора на наибольший точный квадрат, на который оно делится. Получим новый набор чисел, причём в разложение каждого из получившихся чисел на простые множители эти множители входят только в первой степени. Заметим, что каждый простой множитель (если он есть) должен присутствовать во всех разложениях, так как при перемножении любых двух чисел полученного набора он должен оказаться в чётной степени. Это означает, что после деления каждого числа искомого набора на наибольшие квадраты должно получиться одно и то же число q. Если  q = 1,  то получим набор из 44 чисел, которые сами являются точными квадратами (см. выше), а если  q > 1,  то получим набор из меньшего количества чисел, поскольку  1936q > 2016.

Ответ

44 числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .