ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65907
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек A и C соответственно. Докажите, что  ME = DN.


Решение

  Заметим, что точки D и E лежат на окружности с диаметром AC. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. По свойству вписанного четырёхугольника  ∠NDC = ∠А = α,  ∠MEA = ∠С = γ  (рис. слева). Используя прямоугольные треугольники АМЕ и АЕС, получим:  МЕ = АЕ cos γ = AC cos α cos γ.  Аналогично  DN = AC cos γ cos α = ME.

  Второй способ. Пусть О – середина стороны АС. Так как треугольник DOE равнобедренный, то его высота ОК является и его медианой, то есть
ЕК = КD  (рис. справа). Прямые АМ, ОК и CN перпендикулярны прямой ED, поэтому параллельны друг другу. Значит, ОK – средняя линия трапеции AМNC. Следовательно,  ME = МК – ЕК = КN – КD = DN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .