ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65929
Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имелось 2016 чисел, ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение.
Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительны.


Решение

Пусть среди этих чисел было n отрицательных. Тогда было выписано  n(2016 – n) ≤ 1008²  отрицательных произведений. А всего было выписано 1008·2015 произведений. То есть доля отрицательных произведений не больше чем  1008² : (1008·2015) = 1008/2015 < ⅔.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2016
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .