Задача 65929

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Имелось 2016 чисел, ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение.
Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительны.

Решение

Пусть среди этих чисел было n отрицательных. Тогда было выписано  n(2016 – n) ≤ 1008²  отрицательных произведений. А всего было выписано 1008·2015 произведений. То есть доля отрицательных произведений не больше чем  1008² : (1008·2015) = ¹⁰⁰⁸/₂₀₁₅ < ⅔.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2016
задача
Номер	7