ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65942
Темы:    [ Правильный тетраэдр ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.
Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в
  а) центре грани,
  б) середине ребра,
если скорость распространения цунами 300 км/час?


Решение

  а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развертке отрезком. Пусть O – центр грани ABC, X – точка на грани ABD и некоторый путь из O в X пересекает сначала ребро AC (рис. слева). Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре AD. Но в эту точку ведёт и путь через ребро AB, через которое в X можно попасть напрямую (рис. в центре).

  Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис. справа).
    Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:     откуда искомая площадь равна  

  б) Рассматривая "двойную" развертку тетраэдра и рассуждая, как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника.

  Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.
  ∠POA = arccos OA/OP = arccos ¾   ⇒   ∠POQ = 2arccos ¾,       а искомая площадь равна    


Ответ

а)    км²;   б)     км².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 21

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .