Условие
На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно так, что AK = CL и ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Докажите, что KL = BC.
Решение
Первый способ. Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD и проведём отрезок KN, параллельный ВС (рис. слева). Тогда
CN = CD – DN = AB – AK = BC – CL = AL. Треугольники NCL и LAK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, NL = LK. Кроме того, ∠NLА = ∠LKB, так как это соответствующие внешние углы в равных треугольниках.
Поэтому ∠NLK = ∠ALK + ∠NLА = ∠ALK + ∠LKB = 60°, то есть треугольник KLN – равносторонний. Значит, KL = KN = BC.
Второй способ. Через точки K и L проведём прямые, параллельные ВС, которые пересекут АС и АВ в точках М и N соответственно (рис. справа). Тогда KMLN – равнобокая трапеция, значит, MN = KL и ∠MNK = ∠MLK. Пусть Р – точка пересечения диагоналей трапеции, тогда
∠NPL = ∠PNK + ∠NKP = ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Через точку М проведём прямую, параллельную KL, до пересечения с прямой NL в точке Q. Тогда в треугольнике MNQ MN = MQ и ∠QMN = 60°, значит, этот треугольник равносторонний. Следовательно, MQ = NQ, поэтому KL = NL + LQ = NL + KM.
Проведём среднюю линию EF треугольника ABC, которая будет и средней линией трапеции KMLN (так как AM = AK = CL = BN). Тогда
KL = NL + KM = 2EF = BC.
Замечания
9 баллов
