Задача 65961

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена биссектриса CL. Докажите, что  CL < 2BL.

Решение

  Проведём через точку L прямую, параллельную BC, M – точка пересечения этой прямой со стороной АС (см. рис.). Пусть  ∠BCL = ∠MCL = γ,
тогда  ∠MLС = ∠BCL = γ,  так как  LM || BC.  Следовательно, треугольник MCL – равнобедренный:  MC = ML.  Кроме того, CMLB – равнобокая трапеция, значит,  BL = MC.
  Согласно неравенству треугольника  CL < CM + ML = 2BL.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2.2