Задача 65963

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

СН – высота остроугольного треугольника АВС, О – центр его описанной окружности. Точка Т – проекция вершины С на прямую АО.
В каком отношении прямая ТН делит сторону ВС?

Решение

  Пусть ТН и ВС пересекаются в точке М,  ∠В = β  (см. рис.). Тогда  ∠АОС = 2β.

  Точки Н и Т лежат на окружности с диаметром АC. Следовательно,  ∠СНТ = ∠САТ = 90° – β,  поэтому  ∠ВНТ = β.  Таким образом,  НМ = ВМ,  то есть НМ – медиана прямоугольного треугольника BHC.

Ответ

1 : 1.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3.2