ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65963
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

СН – высота остроугольного треугольника АВС, О – центр его описанной окружности. Точка Т – проекция вершины С на прямую АО.
В каком отношении прямая ТН делит сторону ВС?


Решение

  Пусть ТН и ВС пересекаются в точке М,  ∠В = β  (см. рис.). Тогда  ∠АОС = 2β.

  Точки Н и Т лежат на окружности с диаметром АC. Следовательно,  ∠СНТ = ∠САТ = 90° – β,  поэтому  ∠ВНТ = β.  Таким образом,  НМ = ВМ,  то есть НМ – медиана прямоугольного треугольника BHC.


Ответ

1 : 1.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .