ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65971
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?


Решение

  Заметим, что ситуация не изменится, если считать, что после столкновении муравьи не разворачиваются, а продолжают свое движение, не меняя направления и скорости. Пусть какие-то два муравья столкнулись, тогда через 30 секунд после этого каждый из них проползёт половину круга, и они столкнутся вновь. Следовательно, у каждой такой пары произойдёт ровно два столкновения за минуту.
  Таким образом, если x муравьев ползут в одну сторону, а y – в противоположную, то  2xy = 48,  то есть  xy = 24.  Следовательно, величина  x + y  может принимать значения:  1 + 24 = 25,  2 + 12 = 14,  3 + 8 = 11,  4 + 6 = 10.


Ответ

10, 11, 14 или 25.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .