Задача 65996

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если известно, что при увеличении числа m на 6 он увеличивается в 9 раз?

Решение

  Пусть  НОД(m, n) = d,  тогда  m = xd,  n = yd,  где x и y – натуральные числа. По условию  xd + 6  делится на 9d,  то есть  xd + 6 = 9zd.  Значит,
d(9z – x) = 6,  то есть d – делитель числа 6. Кроме того, каждое из чисел  m + 6  и n делится на 9, поэтому m кратно 3. Следовательно, и d кратно 3. Таким образом, достаточно проверить  d = 3  и  d = 6.
  Покажем, что оба случая возможны.
  НОД(21, 27) = 3,  НОД(27, 27) = 27.
  НОД(48, 54) = 6,  НОД(54, 54) = 54.

Ответ

3 или 6.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5.3