Задача 66004

Темы:    [ Куб ] [ Площадь сечения ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Дан куб АBCDA'B'C'D' c ребром 1. На его рёбрах АВ, ВС, C'D' и D'A' отмечены точки K, L, M и N соответственно так, что KLMN – квадрат.
Найдите его площадь.

Решение

  Проекция квадрата на плоскость грани ABCD является параллелограммом, а по теореме о трёх перпендикулярах – это даже прямоугольник KLM'N' (рис. слева).

  Поскольку противоположные вершины прямоугольника лежат на противоположных сторонах квадрата, то центр прямоугольника лежит на пересечении средних линий квадрата, то есть совпадает с центром О квадрата ABCD.
  Окружность с центром О и диаметром, равным диагонали прямоугольника, пересекает каждую сторону квадрата не более чем в двух точках. Ясно, что возможны четыре вписанных в квадрат прямоугольника с этими вершинами: в двух из них диагонали прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, в двух других прямоугольник является квадратом (рис справа). В нашей ситуации последнее невозможно, так как  KN' < KN = KL.
  Пусть  KL = KN = a,  AK = AN' = x,  тогда  BK = 1 – x  (рис. слева). Из прямоугольного треугольника KNN'  a² = 2x² + 1,  а из прямоугольного треугольника KBL  a² = 2(1 – x)² = 2 – 4x + 2x².  Отсюда  2 – 4x = 1,  x = ¼.  Значит,  S_KLMN = a² = ⁹/₈.

Ответ

1,125.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.2