Задача 66007

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В треугольнике АВС проведены медиана АМ, биссектриса AL и высота AH.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника АВС, если  AL = t,  AH = h  и L – середина отрезка MH.

Решение

  Продолжим биссектрису AL до её пересечения в точке N с окружностью Ω (см. рис.). Пусть O – центр Ω. Из равенства дуг BN и CN следует, что серединный перпендикуляр OM к стороне ВС проходит через точку N.

  Так как  ML = HL,  то прямоугольные треугольники NML и AHL равны. Следовательно, AHNM – параллелограмм. Кроме того, так как L – середина AN, то  OL ⊥ AN.  Из прямоугольного треугольника OLN  ON·MN = LN²,  откуда  R = ON = ^t2/_h.

Ответ

^t2/_h.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4.2