|
|
 |
Условие
Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное n, что число 16n – убывающее?
Решение
Заметим, что десятичная запись числа 16n оканчивается на 6. Кроме того, это число делится на все степени двойки с показателями от 1 до 4n. Следовательно, число составленное из k последних цифр в записи 16n должно делиться на 2k.
Рассмотрим число, составленное из двух последних цифр в десятичной записи числа 16n. Если число 16n – убывающее, то это 66, 76, 86 или 96. Но числа вида ...66 или ...86 не делятся на 4, а число вида 99...96 (других цифр впереди быть не может) делится на 3, а 16n на 3 не делится. Следовательно, число составленное из двух последних цифр, это 76.
Рассуждая аналогично для чисел, составленных из трёх, четырёх, пяти и шести последних цифр, получим, что число 16n должно оканчиваться на 987776. Это число не делится на 16² = 256, поэтому не может быть степенью 16, а число 9987776 не делится на 27 = 128.
Значит, чисел, удовлетворяющих условию задачи, не существует.
Ответ
Не существует.
Замечания
9 баллов
