Задача 66010

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Существует ли такое натуральное n, что  3ⁿ + 2·17ⁿ  является квадратом некоторого натурального числа?

Решение

Заметим, что  2·17ⁿ ≡ 2 (mod 8).  Кроме того,  3ⁿ = 9^k ≡ 1 (mod 8)  при чётных n и  3ⁿ = 3·9^k ≡ 3 (mod 8)  при нечётных n. Значит,  3ⁿ + 2·17ⁿ  даёт остаток 3 или 5 при делении на 8. А квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.

Ответ

Не существует.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.3