ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66010
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое натуральное n, что  3n + 2·17n  является квадратом некоторого натурального числа?


Решение

Заметим, что  2·17n ≡ 2 (mod 8).  Кроме того,  3n = 9k ≡ 1 (mod 8)  при чётных n и  3n = 3·9k ≡ 3 (mod 8)  при нечётных n. Значит,  3n + 2·17n  даёт остаток 3 или 5 при делении на 8. А квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.


Ответ

Не существует.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .