Задача 66024

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Решение

Произведение  1·1·1·1·1·2·16 = 32  после указанной операции превращается в  (–2)⁵·(–1)·13 = 13·32.

Ответ

Могло.

Замечания

1. Укажем, как придумать этот пример. Предположим, что пять из сомножителей равнялись 1, шестой – 2, а седьмой – a. Их произведение было равно 2a, а после уменьшения превратилось в  (–2)⁵ (–1)(a – 3) = 32a – 96.  Решая уравнение  32a – 96 = 26a,  получаем  a = 16.

2. Приведённый пример – не единственный. Например, подходит также произведение  1⁴·29·61·64,  после вычитания переходящее в  (–2)⁴·26·58·61.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	4
задача
Класс	11
задача
Номер	11.1