Задача 66029
|
|
 |
Условие
Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.
Решение
Так как четырёхугольник ABCQ вписан и AC || DE, то ∠BEX = ∠C = ∠BQA = ∠BQX. Следовательно, четырёхугольник XBEQ вписан, откуда
∠XBQ = ∠XEQ = ∠DEQ. Аналогично ∠PBY = ∠PDE. Значит, 180° = ∠PDE + ∠DEQ = ∠XBQ + ∠PBY = ∠XBY + ∠PBQ.
