ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66031
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Орлов О.

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.


Решение

  Обозначим проведённые прямые l1, l1, ..., ln, упорядочив их направления по часовой стрелке (рассмотрим произвольную точку плоскости, проведём через неё прямые, параллельные нашим, занумеруем их по часовой стрелке, а потом присвоим нашим прямым те же номера, которые получили соответствующие им новые прямые).

  Среди областей, на которые наши прямые разрезали плоскость, есть 2n бесконечных кусков; обозначим их по часовой стрелке S1, S2, ..., S2n так, что прямая li разделяет куски Si и Si+1, а также куски Si+n и Si+n+1 (мы считаем, что  S2n+1 = S1).
  Сначала во все области (конечные и бесконечные) поставим по 1. Для каждой прямой li обозначим через 2Σi разность сумм чисел слева и справа от li (мы считаем, что куски Si и Si+n+1 лежат слева от li). Если  Σi > 0,  то прибавим по Σi к числам, стоящих в Si+1 и Si+n. При этом все числа Σj при  j ≠ i  не изменились, поскольку области Si и Si+n+1 лежат по разные стороны относительно каждой прямой, кроме li. Число же Σi стало равно нулю. Если  Σi < 0,  то вычтем Σi из чисел, стоящих в Si и Si+n+1; при этом Σi станет равна 0, а остальные Σj не изменятся.
  Такими операциями мы последовательно сделаем каждое Σi равным нулю, не меняя остальных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
задача
Класс 11
задача
Номер 11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .