ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66032
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?


Решение

  Если в некоторый момент среди чисел на карточках есть ровно k нечётных, то среди произведений чисел по 12 ровно    нечётных; поэтому число на очередной добавляемой карточке будет нечётным только тогда, когда   нечётно (и тогда k в эту минуту увеличится на 1).
  Заметим, что число    нечётно (степени двойки, входящие в разложение чисел  28·27·...·17  и  12·11·...·1,  равны). Поскольку    наименьшее t, при котором    чётно, равно 4. Итак, количество нечётных чисел на карточках будет расти, пока не достигнет 32 (на 4-й минуте), а после этого на карточках всегда будет ровно 32 нечётных числа.
  Рассмотрим числа на карточках после  n ≥ 4  минут. Пусть Tn – сумма всех произведений двенадцати из этих чисел, а En – сумма всех произведений одиннадцати из этих чисел. Число  Tn+1 = Tn + EnTn = Tn(1 + En).  Кроме того,    при  n ≥ 4,  а число    чётно. Значит, при  n ≥ 4  число  1 + En  нечётно, и степень двойки, на которую делится Tn+1, равна степени двойки, на которую делится Tn.
  Выберем d так, чтобы после пятой минуты ни одно из чисел на карточках (в частности, только что добавленное число T4) не делилось на 2d. Значит, и все числа T5, T6, ... не будут делиться на 2d, то есть числа, кратного 2d, никогда не появится.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
задача
Класс 11
задача
Номер 11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .