ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66048
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На антарктической станции n полярников, все разного возраста. С вероятностью p между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.


Решение

  Пусть  0 < p < 1.  Дадим полярниками номера от 1 до n в соответствии с возрастом – чем старше, тем номер меньше. Полярник с номером k может получить советы от  k – 1  полярников старше него. Поэтому он не получит ни одного совета, только если не дружит ни с кем из них. Вероятность этого  (1 – p)k–1.  Поэтому событие "полярник k вообще не получил советов" имеет индикатор Ik с математическим ожиданием  EIk = (1 – p)k–1.  Общее число полярников, не получивших ни одного совета, равно  I1 + I2 + ... + In.
  E(I1 + I2 + ... + In) = (1 – p)0 + (1 – p)1 + ... + (1 – p)n–1 = 1/p (1 – (1 – p)n).
  При  p = 0,  очевидно,  E = n,  а при  p = 1   E = 1.


Ответ

n при  p = 0;   1/p (1 – (1 – p)n)  при  0 < p < 1;   1 при  p = 1.

Замечания

2 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .