ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66049
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:
  а) наименьшее возможное число призёров турнира;
  б) математическое ожидание числа призеров турнира.

Решение

  а) См. задачу 64440.

  б) Пронумеруем борцов от самого слабого №1 до самого сильного №100. Пусть Ik – индикатор события "k-й борец выиграл оба поединка". Вероятность победить соперника в каждом поединке для k-го борца равна вероятности того, что его соперником оказался один из тех  k – 1  борцов, что слабее. Значит, вероятность победы равна  k–1/99.  Вероятность победить оба раза равна  (k–1/99)²,  поэтому  EIk = (k–1/99)².
  Общее количество призёров X равно сумме всех индикаторов, значит,  


Ответ

а) 1;  б) ≈33,5.

Замечания

баллы: 1 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .