Задача 66050

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На бал пришли n семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины X  "Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши".

Решение

Дадим кавалерам номера от 1 до n. Пусть I_j – индикатор события "кавалер номер j ниже своей дамы".  P(I_j = 1) = ^j–1/_n.  Значит,
EX = E(I₁ + I₂ + ... + I_n) = ¹/_n (0 + 1 + ... + (n – 1)) = ^n–1/₂.

Ответ

½ (n – 1).

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2017
тур
задача
Номер	9