ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66052
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.


Решение

  Отдельно пронумеруем единицы числами от 1 до 19 и отдельно – нули числами от 1 до 49. Пусть Ik – индикатор события "перед k-й единицей нет нулей" и Jm – индикатор события "перед m-м нулём нет единиц", где  1 ≤ k ≤ 19  и  1 ≤ m ≤ 19.  Если хотя бы один из индикаторов Ik равен единице, то первая группа состоит из единиц, и поэтому все индикаторы Jm равны нулю. И наоборот – если хотя бы один из индикаторов Jm равен единице, то все Ik равны нулю. Искомая величина X "длина первой группы" равна  I1 + I2 + ... + I19 + J1 + J2 + ... + J49.
  Вероятность события  "Ik = 1"  равна 1/50, поскольку это событие наступает только тогда, когда в случайно перемешанной последовательности, состоящей из k-й единицы и всех 49 нулей, единица стоит на первом месте. Следовательно,  EIk = P(Ik = 1) = 0,02.  Аналогично
EJm = P(Jm = 1) = 1/20 = 0,05.  Поэтому  EX = 19·0,02 + 49·0,05 = 2,823.


Ответ

2,83.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .