|
|
 |
Условие
Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.
Решение
Отдельно пронумеруем единицы числами от 1 до 19 и отдельно – нули числами от 1 до 49. Пусть Ik – индикатор события "перед k-й единицей нет нулей" и Jm – индикатор события "перед m-м нулём нет единиц", где 1 ≤ k ≤ 19 и 1 ≤ m ≤ 19. Если хотя бы один из индикаторов Ik равен единице, то первая группа состоит из единиц, и поэтому все индикаторы Jm равны нулю. И наоборот – если хотя бы один из индикаторов Jm равен единице, то все Ik равны нулю. Искомая величина X "длина первой группы" равна I1 + I2 + ... + I19 + J1 + J2 + ... + J49.
Вероятность события "Ik = 1" равна 1/50, поскольку это событие наступает только тогда, когда в случайно перемешанной последовательности, состоящей из k-й единицы и всех 49 нулей, единица стоит на первом месте. Следовательно, EIk = P(Ik = 1) = 0,02. Аналогично
EJm = P(Jm = 1) = 1/20 = 0,05. Поэтому EX = 19·0,02 + 49·0,05 = 2,823.
Ответ
2,83.
Замечания
3 балла
