ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66054
Темы:    [ Непрерывное распределение ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У одного островного племени есть обычай – во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным – сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.


Решение

  Ломаную, образованную прутьями, назовём ABCD. Пусть  α = ∠ABC  – угол между первым звеном и вторым, а  β = ∠BCD  – угол между вторым и третьим (рис. слева). Можно считать, что  0 ≤ α ≤ π  и тогда  0 ≤ β 2π.  Элементарными исходами являются пары  (α, β).  На координатной плоскости αOβ они заполняют прямоугольник G (рис. справа), при этом вероятность попадания точки  (α, β)  внутрь некоторой фигуры пропорциональна площади этой фигуры.

  Первое и третье звенья AB и CD пересекаются в некоторой точке K, только если луч CD лежит внутри угла BCA, а луч BA лежит внутри угла CBD, то есть  0 ≤ ∠BCD < ∠BCA,  0 ≤ ∠ABC < ∠CBD.
  Учитывая, что треугольники ABC и CBD равнобедренные, получаем условия  0 ≤ β < π/2α/2  и  0 ≤ α < π/2β/2.
  На координатной плоскости αOβ эти неравенства определяют четырёхугольник F внутри прямоугольника G. Вероятность самопересечения
P(F) = SF/SG = 1/12.  Значит, искомая вероятность равна  1 – 1/12 = 11/12.


Ответ

11/12.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 13

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .