Задача 66054

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Метод координат на плоскости ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

У одного островного племени есть обычай – во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным – сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.

Решение

  Ломаную, образованную прутьями, назовём ABCD. Пусть  α = ∠ABC  – угол между первым звеном и вторым, а  β = ∠BCD  – угол между вторым и третьим (рис. слева). Можно считать, что  0 ≤ α ≤ π  и тогда  0 ≤ β 2π.  Элементарными исходами являются пары  (α, β).  На координатной плоскости αOβ они заполняют прямоугольник G (рис. справа), при этом вероятность попадания точки  (α, β)  внутрь некоторой фигуры пропорциональна площади этой фигуры.

  Первое и третье звенья AB и CD пересекаются в некоторой точке K, только если луч CD лежит внутри угла BCA, а луч BA лежит внутри угла CBD, то есть  0 ≤ ∠BCD < ∠BCA,  0 ≤ ∠ABC < ∠CBD.
  Учитывая, что треугольники ABC и CBD равнобедренные, получаем условия  0 ≤ β < ^π/₂ – ^α/₂  и  0 ≤ α < ^π/₂ – ^β/₂.
  На координатной плоскости αOβ эти неравенства определяют четырёхугольник F внутри прямоугольника G. Вероятность самопересечения
P(F) = ^S_F/_SG = ¹/₁₂.  Значит, искомая вероятность равна  1 – ¹/₁₂ = ¹¹/₁₂.

Ответ

¹¹/₁₂.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2017
тур
задача
Номер	13