|
|
 |
Условие
Вася задумал двузначное число и сообщил Пете произведение цифр в записи этого числа, а Саше – сумму этих цифр. Между мальчиками состоялся такой диалог:
Петя: "Я угадаю задуманное число с трёх попыток, но двух мне может не хватить".
Саша: "Если так, то мне для этого хватит четырёх попыток, но трёх может не хватить".
Какое число было сообщено Саше?
Решение
Пусть ab – задуманное двузначное число, тогда P = ab – произведение его цифр. Так как Петя берётся угадать задуманное число с трёх попыток, то число P должно раскладываться на два множителя, которые являются цифрами, ровно тремя способами, учитывая порядок множителей. Следовательно:
1) b ≠ 0 (иначе Р = 0 = a·0 при любом a от 1 до 9, то есть указанных способов – 9);
2) для чисел ab и ba значение Р одно и то же, поэтому Р должно быть квадратом какой-то из цифр (иначе Р раскладывается указанным образом чётным количеством способов).
Таким образом, достаточно рассмотреть квадраты всех цифр и выписать все способы их указанного разложения на множители:
1 = 1·1; 4 = 2·2 = 1·4 = 4·1, 9 = 3·3 = 1·9 = 9·1, 16 = 4·4 = 2·8 = 8·2, 25 = 5·5, 36 = 6·6 = 4·9 = 9·4, 49 = 7·7, 64 = 7·7; 81 = 9·9.
Следовательно, из фразы Пети Саша может сделать вывод, что задуманным могло оказаться только одно из следующих чисел: 22, 14, 41, 33, 19, 91, 44, 28, 82, 66, 49, 94. Среди них: одно число с суммой цифр 4 (22), два числа с суммой цифр 5 (14 и 41), одно число с суммой цифр 6 (33), одно число с суммой цифр 8 (44), четыре числа с суммой цифр 10 (19, 91, 28, 82), одно число с суммой цифр 12 (66) и два числа с суммой цифр 13 (49 и 94). Так как Саше требуется четыре попытки, то искомая сумма равна 10.
Ответ
10.
