ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66085
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.


Решение

  Пусть  ∠B = β.  Тогда  ∠AOC = 2β.

Первый способ.  ∠AEC = ∠AOC = 2β,  ∠ECB = ∠AEC – ∠B = β,  то есть треугольник CEB – равнобедренный. Аналогично треугольник ABF – равнобедренный.
  Следовательно,  AB = 2BF cos β  и  BC = 2BE cos β.  Перемножив, получим  AB·BC = 4BE·BF cos²β. По условию  4cos²β = AB·BC/BE·BF = SABC/SBEF = 2.  Так как  2β < 180°,  то  

  Второй способ. Заметим, что  ∠BEO = ∠OCA = 90° – β,  так как четырёхугольник AEOC – вписанный, а треугольник AOC – равнобедренный. Значит, прямая EO – высота треугольника BEС. Аналогично FO – высота треугольника AFB. Так как O – центр окружности Ω, то прямые EO и FO делят стороны AB и СB соответственно пополам. Пусть M и N – середины AB и , тогда треугольник BMN подобен BFE с коэффициентом подобия cos β. С другой стороны, этот коэффициент равен    так как  SBFE = ½ SABС ,  а  SBMN = ¼ SABС.


Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .