ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66092
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной d метров. При каком наименьшем d фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?


Решение

  Без ограничения общности будем считать, что все велосипедисты едут по треку против часовой стрелки, причём первый из них – самый быстрый, а третий – самый медленный.   Рассмотрим движение велосипедистов в системе отсчета связанной со вторым велосипедистом. Тогда второй велосипедист постоянно находится в некоторой точке A, а первый и третий движутся против и по часовой стрелке соответственно. Они периодически встречаются друг с другом через равные промежутки времени. Обозначим через B1, B2, B3, ... последовательные точки их встреч с начала наблюдения за этими спортсменами (рис. слева). Каждые две соседние точки Bn и Bn+1 (n – произвольное натуральное число) различны, так как первый велосипедист не сможет сделать полный круг против часовой стрелки, не встретившись при этом с третьим. Обозначим через βn меньшую из двух дуг трека с концами Bn, Bn+1. Её длина не превосходит 150 м. Поскольку встречи происходят периодически со сдвигом в одном направлении, все дуги βn равны между собой и объединение нескольких из них покрывает весь трек. Значит, найдётся дуга βm, содержащая точку A. При этом длина одной из дуг BmA или ABm+1 не превосходит 75 м. Таким образом, в какой-то момент встречи первого и третьего велосипедистов они будут находиться от второго велосипедиста не дальше 75 м. Поэтому фотограф заведомо сможет сделать удачный снимок, если  d ≥ 75.

  Приведём пример движения велосипедистов, при котором ни в какой момент времени они не могут оказаться на каком-либо участке трека длиной меньше 75 м. Пусть относительно точки A первый и третий велосипедисты движутся с равными по величине, но различными по направлению скоростями, а в начальный момент они находятся в точке B, отстоящей от A на четверть круга (рис. справа). Тогда они будут встречаться поочередно в диаметрально противоположных точках B и C (отстоящих от A на 75 м), а их положения в каждый момент времени будут симметричны относительно прямой BC. Значит, в каждый момент времени расстояние от одного из них до точки A будет не меньше 75 м.


Ответ

75.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .