Задача 66094

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Горяшин Д.В.

Даны две непостоянные прогрессии (a_n) и (b_n), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  a₁ = b₁,  a₂ : b₂ = 2  и
a₄ : b₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  a₃ : b₃?

Решение

  Пусть  a₁ = b₁ = a ≠ 0,  разность арифметической прогрессии равна  d ≠ 0,  а знаменатель геометрической –  q ≠ 1.  Возможны два случая.
  1) (a_n) – арифметическая прогрессия, а (b_n) – геометрическая. Тогда по условию  a + d = 2aq,  a + 3d = 8aq³,  или  d = a(2q – 1),
3d = a(8q³ – 1) = d(4q² + 2q + 1),  2q² + q – 1 = 0,  откуда  q = ½  или  q = – 1.
  Если  q = ½,  то  d = a(2q – 1) = 0,  что противоречит условию.
  Если  q = –1,  то  d = –3a  и  ^a₃/_b3 = ^a+2d/_aq² = –5.
  2) (a_n) – геометрическая прогрессия, а (b_n) – арифметическая. Тогда  2(a + d) = aq,  8(a + 3d) = aq³,  поэтому
2d = a(q – 2),  24d = a(q³ – 8) = 2d(q² + 2q + 4),  q² + 2q – 8 = 0,  откуда  q = 2  или  q = – 4.  В первом случае снова  d = 0,  а во втором  q = –4,  d = – 3a  и  ^a₃/_b3 = ^aq²/_a+2q = – ¹⁶/₅.

Ответ

–5 или –3,2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	11
задача
Номер	1