Задача 66120

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Композиции симметрий ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC c углом A, равным 45°, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты BB₁, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты CC₁. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что  AX = BC.

Решение

  Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые образуют "удвоенный" треугольник A'B'C' (см. рис.). Заметим, что BB₁ – серединный перпендикуляр к A'C', а A' лежит на прямой AM. Поэтому при симметрии относительно BB₁ точка A' переходит в C', значит, C' лежит на b. Аналогично B' лежит на c.

  При переходе от прямых к перпендикулярным им углы сохраняются. Поэтому угол между высотами BB₁ и CC₁ тоже равен 45°. Прямые b и c получаются друг из друга композицией симметрий относительно этих высот, то есть поворотом на удвоенный угол между ними. Следовательно, b и c перпендикулярны. Медиана XA прямоугольного треугольника XB'C' равна половине гипотенузы B'C', то есть равна BC.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5