|
|
 |
Условие
При каких натуральных n для каждого целого k ≥ n найдётся кратное n число с суммой цифр k?
Решение
Если n кратно 3, то всякое кратное n число кратно и 3. Значит, сумма цифр этого числа кратна 3, поэтому не может быть равной, например, n + 1.
Далее считаем, что n не кратно 3. Тогда найдётся решение сравнения 9x ≡ – k (mod n) в интервале 0 < x ≤ n ≤ k.
Если n взаимно просто с 10, то 10a ≡ 1 (mod n) при некотором натуральном a. Тогда подойдёт число
10(10a + 102a + ... + 10xa) + (10a + 102a + ... + 10(k–x)a) (при k = x вторая скобка отсутствует). Его сумма цифр равна x + (k – x) = k, а по модулю n оно сравнимо с 10x + (k – x) ≡ 0.
Если же n = 2b5cd, где d взаимно просто с 10, то k ≥ d. Как показано выше, существует кратное d число с суммой цифр k. Домножив его на 10max(b,c), получим искомое число.
Ответ
При n, не кратных 3.
Замечания
10 баллов
