Задача 66135

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

Решение

Пусть L – середина отрезка BK. Тогда ML – средняя линия треугольника BCK, то есть  ML || CK  и  ML = ½ CK = ½ AB = LN.  Следовательно, треугольник MLN равнобедренный. Из параллельности прямых ML и PK следует, что треугольник PKN подобен треугольнику MLN, значит, и он равнобедренный.

Замечания

Можно также отложить на продолжении стороны AB за точку A отрезок  AQ = BK  и использовать равнобедренный треугольник QKC и то, что MN – средняя линия треугольника QCB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	8-9
задача
Номер	1