ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66135
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.


Решение

Пусть L – середина отрезка BK. Тогда ML – средняя линия треугольника BCK, то есть  ML || CK  и  ML = ½ CK = ½ AB = LN.  Следовательно, треугольник MLN равнобедренный. Из параллельности прямых ML и PK следует, что треугольник PKN подобен треугольнику MLN, значит, и он равнобедренный.

Замечания

Можно также отложить на продолжении стороны AB за точку A отрезок  AQ = BK  и использовать равнобедренный треугольник QKC и то, что MN – средняя линия треугольника QCB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2017-04-16
класс
Класс 8-9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .