Задача 66137

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Блинков А.Д., Блинков Ю.А.

Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что  BC || AD  и  AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?

Решение

Контрпример см. на рисунке.

Ответ

Неверно.

Замечания

  Вот стандартное неверное рассуждение. Предположим, что ABCD – не параллелограмм, а трапеция (см. рис.). Тогда MN – её средняя линия, откуда следует, что  ∠BCM = ∠CMN  и  ∠DAN = ∠MNA.  Опустим перпендикуляры CP и NQ на прямые MN и AD соответственно, тогда прямоугольные треугольники CMP и NAQ равны по катету и гипотенузе. Следовательно,  ∠CMP = ∠QAN = ∠MNA,  значит,  MC || AN.  Таким образом, AMCN – параллелограмм,  AM || CN,  значит, и ABCD – параллелограмм.

  Ошибка в том, что углы CMP и MNA не обязаны быть накрест лежащими. Соответствующий пример приводит к решению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	8-9
задача
Номер	3